Monthly Archives: Februari 2010

Hakikat Problem Solving dalam Matematika

Terkisah, Einstein pernah berkata: Jika saya diberi waktu satu jam untuk menyelamatkan dunia, saya akan menggunakan 55 menit awal untuk memahami masalahnya dan 5 menit sisanya untuk mencarikan solusi.

Renungilah

Terkadang dalam meyelesaikan masalah dalam matematika, kita hanya berfokus pada jalan menuju solusi sehingga mengesampingkan pemahaman terhadap masalah itu sendiri. Sesungguhnya untuk mendapatkan solusi terbaik dalam soal matematika, pahami masalahnya, masuk ke dalam masalah, bongkar dari dalam, musnahkan masalahnya, dan selesai.

contoh: lihatlah soal di bawah ini

Jika dalam sebuah lemari terdapat banyak kaus kaki dengan bergam warna yaitu 365 putih, 1298 merah, 9400 biru, dan 1298^{365} hitam. Karena lampu padam, warna kaus kaki tidak dapat dibedakan. Berapakah kaus kaki minimal yang harus diambil agar setidaknya mendapatkan dua buah kaus kaki dengan warna yang sama?

Lihatlah, masalah di atas kelihatannya sulit karena menggunakan angka dengan nilai yang sangat tinggi. Namun, cobalah memvisualisasikannya dalam kehidupan sehari-hari ketika anda memilih-milih kaus kaki di dalam lemari. Bukankah itu masalah sehari-hari?

Anda lalu teringat bahwa ketika anda mengambil kaus kaki (misalkan dalam lemari hanya ada kaus kaki hitam-putih) kadang anda mengambil dua kaus kaki masing-masing berwarna hitam dan putih. Itu tentu membuat anda kesal karena warnanya berbeda. Maka agar ada setidaknya dua buah kaus kaki berwarna sama anda harus mengambil tiga buah kaus kaki. Seperti itu juga dengan soal diatas.

Disebabkan karena dalam soal tersebut terdapat 4 jenis warna kaus kaki. Ya… dengan sederhana, dapat disimpulkan bahwa anda harus mengambil minimal 5 kaus kaki. ^ ^

Iklan

Menentukan Bilangan Kuadrat

Temukan semua nilai x dan y positif sehingga x^2+3y dan y^2+3x adalah bilangan kuadrat.

Lihat Solusi

MathWeb Comes Again!

Tugas numpuk, jadi ga sempat update blog. Demi memuaskan keinginan MathSpider seluruh indonesia, tulisan-tulisan hangat yang baru, segera akan saya post. Keep powerfull! Let’s build our web.

Konjektur Goldbach

Konjektur ini terkaji dalam salah satubagian penting dari matematika diskrit, yaitumengenai teori bilangan. Konjektur Goldbachterbagi atas dua bagian, yaitu konjektur lemahGoldbach dan konjektur kuat Goldbach. Konjekturkuat Goldbach menyatakan bahwa setiap bilangangenap > 2, selalu merupakan hasil penjumlahandari 2 buah bilangan prima. Sedangkan konjekturlemah Goldbach berbunyi setiap bilangan ganjil >6 merupakan hasil penjumlahan dari 3 buahbilangan prima. Hingga sekarang belum ada orangyang dapat memastikan kebenaran atupunkesalahan dari konjektur ini.

Setiap bilangan bulat genap yang lebih besar dari 2 dapat ditulis sebagai jumlah dari dua bilangan prima

Contoh:

4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 510 = 3 + 7 = 5 + 512 = 5 + 714 = 3 + 11 = 7 + 7dst.
Konjektur ini ditemukan oleh Goldbach saat bekerja sama dengan Leonhard Euler dan hingga saat ini belum terbukti.
Kesempatan bagi anda untuk menjadi next andrew Wiles
<div id="bb-connect" class="module module4 module-top-small">
	<div class="module-bottom">
		<div class="module-middle">
			<div class="right-col2-wrapper">
				<div class="connect-billboard">
					<div class="header-div"><h3>Connect with </h3><img src="/images/backgrounds/logo121x19.gif"></div>
					<ul>
						<li class="twitter"><a href="http://twitter.com/billboarddotcom" class="no-ajax" target="_blank">Twitter</a></li>
						<li class="facebook"><a href="http://www.facebook.com/Billboard" class="no-ajax" target="_blank">Facebook</a></li>
						<li class="buzz"><a href="http://www.google.com/profiles/billboardmag" class="no-ajax" target="_blank">Buzz</a></li>
						<li class="email"><a href="http://www.billboard.com/footer/newsletter" class="no-ajax" target="_blank">Email</a></li>
					</ul>
				</div>
			</div>
		</div>
	</div>
</div>


Teorema Terkahir Fermat

Pierre De Fermat, seorang pengacara yang juga matematikawan amatir abad ke-7, sering menulis komentar-komentar dipinggiran bukunya. Dan yang paling terkenal sepanjang sejarah adah Teorema Terkahir Fermat(Fermat Last Theorem). Dinamakan teorema terakhir bukan karena terakhir kali dipublikasikan, namun yang terakhir kali dibuktikan. Teorema ini tidak berhasil dibuktikan oleh semua matematikawan-matematikawan dunia selama 357 tahun lebih.

Teorema fermat berbunyi:

untuk n > 2, tidak ada bilangan bulat bukan nol xy, dan z yang memenuhi persamaan x^n+y^n=z^n

Fermat mengaku telah mempunyai bukti terhadap teorema tersebut, namun dia tidak menuliskannya karena pinggiran bukunya tidak cukup lagi untuk ditulisi. Dia menulis seperti ini, “I have discovered a truly remarkable proof which this margin is to small to contain”.

Sepanjang 300 tahun lebih teorema ini berusaha dibuktikan oleh seluruh matematikawan di seluruh dunia, seperti Leonhard Euler, Dirichlet, dll. Sebagai gambaran,sepanjang 4 tahun (1908-1912) terdapat 1000 bukti yang diterbitkan namun semuanya salah. Baru pada tahun 1993, momen yang ditunggu-tunggu datang.

Bukti Datang

Adalah Andrew Wiles seorang matematikawan ahli teori bilangan dari Inggris yang berhasil membuktikan teorema ini. Ia membuktikan Teorema Terakhir Fermat dengan cara membuktikan Konjektur Taniyama-Shimura.

Hubungan antara teori Fermat dan Taniyama-Shimura
Jika p adalah bialangan ganjil, dan a, b, c adalah bilangan bulat positif memenuhi ap+bp=cp, maka persamaan y² = x(x – ap)(x + bp) akan mendefinisikan sebuah kurva elips hipotetis kurva Frey, yang harusnya ada jika (dan hanya jika) teorema terakhir Fermat salah. Setelah karya Yves Hellegouarch yang pertama kali menyebutkan kurva ini, Frey menunjukkan bahwa jika kurva tersebut benar-benar ada, maka ia akan memiliki sifat-sifat yang aneh, dan mengusulkan bahwa kurva tersebut mungkin tidak memiliki bentuk modular.

Andrew Wiles mengenal teorema terakhir Fermat sejak berusia 10 tahun, dan berusaha membuktikannya dengan menggunakan buku-buku sekolah,dan akhirnya mempelajari karya-karya matematikawan yang berusaha membuktikan teorema tersebut. Saat memulai kuliah doktornya, ia berhenti bekerja dalam teorema Fermat.

Sekitar tahun 1950an, matematikawan Jepang Goro Shimura dan Yutaka Taniyama mengusulkan bahwa kurva elips dan bentuk modular berkaitan satu sama lain (Konjektur Shimura-Taniyama). Selanjutnya matematikawan Amerika, Ken Ribet, membuktikan bahwa Konjektur Shimura-Taniyama dan Teorema Terakhir Fermat adalah biimplikasi logis, artinya pembuktian Teorema Shimura-Taniyama juga membuat Teorema Terakhir Fermat telah terbukti. Mengetahui hal tersebut, Wiles bekerja secara rahasia untuk membuktikan teorema Shimura-Taniyama. Hanya istri dan temannya, Nicholas Katz, saja yang mengetahui usahanya ini. Akhirnya Wiles membuktikan teorema Shimura-Taniyama dan konsekuensinya, membuktikan teorema terakhir Fermat dalam presentasi di Universitas Cambridge, 23 Juni 1993.

Dalam pembuktian tentang teorema ini yang terbagi dalan 3x pertemuan (21-23 Juni 1993) bukannya membicarakan teorema fermat, ia malah menjelaskan tentang kurva elips dalam Teorema Shimura-Taniyama, namun dalam kuliah terakhir, Wiles menggiring para peserta ke tujuan sebenarnya [keren]. Segera setelah ia menyelesaikan pembuktian Taniyama-Shimura conjecture dia menuliskan teorema terakhir Fermat di papan tulis dan berkata “Saya pikir cukup sampai di sini”.

I think I’ll stop here.

Pada Desember 1993, Wiles memberikan pernyataan bahwa setelah melakukan review beberapa masalah muncul, banyak diantaranya yang belum terselesaikan. Akan tetapi yang tertinggal hanya satu masalah dan Wiles menarik ulang klaimnya bahwa ia telah membuktikan FLT. Wiles berkata “The key reduction of (most cases of) the Taniyama-Shimura conjecture to the calculation of the Selmer group is correct. However the final calculation of a precise upper bound for the Selmer group in the semisquare case (of the symmetric square representation associated to a modular form) is not yet complete as it stands. I believe that I will be able to finish this in the near future using the ideas explained in my Cambridge lectures”. Bersama rekannya Richard Taylor, Wiles memulai kerjanya untuk menambal kekurangan dalam pembuktian tersebut. Akhirnya, Wiles berhasil menambal kekurangan itu dengan mempublikasikan bukti kepada koleganya pada 6 Oktober 1994. Bukti tersebut sangat rumit, sehingga masih banya yang sanksi dengan kebenarannya. Namun ketika Taylor memberikan kuliah pada British Mathematical Colloquium di Edinburgh bulan April 1995 dia memberikan kesan bahwa tidak ada kesangsian yang tersisa terhadap Fermat Last Theorem.

Singkat kata Teorema yang sangat terkenal tersebut terbukti. Andrew Wiles berhasil mengakhiri sejarah.

Catatan: Pembuktian yang ditemukan wiley bisa jadi tidak sama dengan pembuktian yang dimiliki Fermat. Menurut Wiley, teknik yang dia gunakan untuk membuktikan teorema ini belum ada pada zaman ketika fermat masih hidup. Jadi masih ada dua kemungkinan: Terdapat pembuktian yang lebih sederhana, atau sebenarnya fermat berbohong (bahwa dia punya pembuktiannya)

Bukti Teorema Phytagoras

Teorema Phytagoras adalah teorema termahsyur di cabang geometri dasar. Teorema ini dinamakan menurut nama matematikawan Yunani abad ke-6, Phyagoras.  Phytagoras sering disebut sebagai penemu teorema ini meskipun sebenarnya teori ini ditemukan oleh matematikawan India, Yunani, Babilonia, dan Tionghoa sebelum Phytagoras lahir. Nama Phytagoras didedikasikan karena ialah yang pertama membuktikan teorema ini dengan pembuktian matematis.

Teorema ini berbunyi : Jumlah luas bujur sangkar pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas bujur sangkar di hipotenus. Ilustrasi:

Luas bujur sangkar merah dan biru sama dengan luas bujur sangkar ungu

Pythagorean.svg

Sulbasutra India menyatakan teorema tersebut sebagai berikut:

Tali yang direntangkan sepanjang panjang diagonal sebuah persegi panjang akan menghasilkan luas yang dihasilkan oleh sisi vertikal dan horizontalnya.

Terdapat ribuan bukti teorema Phytagoras. Beberapa diantaranya:

bukti visual untuk (3,4,5) dari Chou Pei Suan Ching 500-300 BC

atau:

dapat juga

Bukti Teorema Ceva



Jika D,E,F berturut-turut merupakan titik-titik pada garis BC,CA,AB pada \Delta ABC , maka:

Garis BE,AD,FC berpotongan di satu titik jika dan hanya jika

\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} =1

Pelajari Lebih Lanjut