Monthly Archives: Desember 2009

3 Hal Aneh Ms. Windows

3 keanehan yang akan ditemui ketika anda menggunakan OS windows:

Pertama
Anda tidak akan bisa membuat folder dengan nama CON. Mau di MyDocument, di Mypicture, Di Flashdisk ato dimanapun, anda ga akan bisa buat folder dengan nama CON (ga tau deh kalo yang jago ngecrack 🙂 ga percaya? coba aja 🙂

Kedua
Coba buka notepad anda, udah dibuka blom? Belom? buka dulu dunk, hheehe, kalo notepadnya udah dibuka silakan tulis kata-kata “Bush hid the facts” (jangan pake tanda kutipnya ya), abis itu save dimana aja, dengan nama apa aja. kalo udah buka lagi file yang tadi, Hayo tulisannya jadi apa? Bingung ya? sama dunk 🙂

Ketiga
Nah ini dia nih yang tadinya saya cari, ternyata kata-kata yang mesti di ketik cuma dikit duank. Dah deh, silakan di coba aja, buka MS.Word-nya, terus tulis “=rand (100, 99)” (tanda kutipnya jangan ditulis juga yah) kemudian tekan enter.

aneh…..

Iklan

Funny Exam

Terkadang mengerjakan soal-soal matematika membuat kita frustasi. Tampang-tampang frustasi tersebut dapat anda bayangkan dari gambar-gambar berikut:

Sajak Pi

Sir, I bear a rhyme excelling
In mystic force and magic spelling
Celestial sprites elucidate
All my own striving can’t relate

sanji 11

KIta semua telah tahu bahwa nilai pi yang akurat bukanlah 22/7  nilai pi yang sesungguhnya adalah  3,14159 26535 89793 23846…. Secara angka-angka tersebut sulit dihafalkan maka muncullah berbagai sajak yang merepresentasikan nilai pi seperti di atas.

Read the rest of this entry

Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks meliputi dua bagian besar yaitu real dan imajiner. Kurang lebih bisa digambarkan sebagai berikut.


Lingkaran yang paling besar itu menunjukkan himpunan bilangan kompleks, memperlihatkan betapa luasnya himpunan bilangan kompleks

OSN 2009 Soal 4

Di suatu pulau terdapat 7 kota dan ada jaringan kereta api yang melalui kota-kota tersebut. Setiap segmen rel menghubungkan tepat 2 kota, dan diketahui bahwa setiap kota memiliki paling sedikit 3 segmen ke kota lain. Buktikan bahwa terdapat rute perjalanan kereta api yang mengunjungi 4 kota yang berbeda masing-masing sekali dan kembali ke kota asalnya. (Contoh: rute ).

Read the rest of this entry

Kekuatan Penuh Faktorisasi

Tentukan nilai terkecil yang mungkin dari fungsi

f(x) = x^{2008} -2x^{2007} +3x^{2006} -4x^{2005} +5x^{2004} +... -2006x^3 +2007x^2 -2008x +2009

untuk sebarang bilangan real x .

Lihat Solusi

Tidak Ada Yang Habis Dibagi

OSN 2009 Soal 1. Tentukan banyaknya bilangan n\in {1,2,3,...,2009}  sedemikian sehingga

4n^6+n^3+5

habis dibagi 7.

Lihat Solusi

Teorema Binomial

Teorema binomial sebagai berikut (dua rumus di bawah identik):

(a+b)^n= \sum \limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot a^{n-k} \cdot b^k

contoh penerapan sebagai berikut:

Read the rest of this entry

Teorema Ceva dan Menelaus

Diberikan sebuah segitiga ABC dengan titik D, E, dan F masing-masing terletak pada garis BC, CA, dan AB. (lihat gambar)

Teorema Ceva menyatakan bahwa

Read the rest of this entry

Bilangan Lubang Hitam : 123

Dalam astronomi dan fisika, kita mengenal adanya suatu fenomena alam yang sangat menarik yaitu lubang hitam (black hole). Lubang hitam adalah suatu entitas yang memiliki medan gravitasi yang sangat kuat sehingga setiap benda yang telah jatuh di wilayah horizon peristiwa (daerah di sekitar inti lubang hitam), tidak akan bisa kabur lagi. Bahkan radiasi elektromagnetik seperti cahaya pun tidak dapat melarikan diri, akibatnya lubang hitam menjadi “tidak kelihatan”.

Ternyata, dalam matematika juga ada fenomena unik yang mirip dengan fenomena lubang hitam yaitu bilangan lubang hitam. Bagaimana sebenarnya bilangan lubang hitam itu? Mari kita bermain-main sebentar dengan angka.

Read the rest of this entry

Misteri Bilangan Nol

Ratusan tahun yang lalu, manusia hanya mengenal 9 lambang bilangan yakni 1, 2, 2, 3, 5, 6, 7, 8, dan 9. Kemudian, datang angka 0, sehingga jumlah lambang bilangan menjadi 10 buah. Tidak diketahui siapa pencipta bilangan 0, bukti sejarah hanya memperlihatkan bahwa bilangan 0 ditemukan pertama kali dalam zaman Mesir kuno. Waktu itu bilangan nol hanya sebagai lambang. Dalam zaman modern, angka nol digunakan tidak saja sebagai lambang, tetapi juga sebagai bilangan yang turut serta dalam operasi matematika. Kini, penggunaan bilangan nol telah menyusup jauh ke dalam sendi kehidupan manusia. Sistem berhitung tidak mungkin lagi mengabaikan kehadiran bilangan nol, sekalipun bilangan nol itu membuat kekacauan logika. Mari kita lihat.

Read the rest of this entry

Jam Biologis Tubuh Manusia

Pernahkah Anda bertanya, 

  • mengapa saat malam kita mengantuk?

Atau

  • mengapa bila masyarakat pedesaan yang belum ada listrik cenderung tidur lebih cepat?

Read the rest of this entry

Benarkah Pi=22/7 

Waktu kita SD [tepatnya SD negeri(salah satunya SDN 3 LAMANGGA) dan beberapa SD swasta. ], kebanyakan dari kita (termasuk saya) yang diajarkan RUMUS lingkaran menggunakan nilai π (pi) = 3.14 atau 22/7.

.

tahukah anda kalau pi itu bukanlah 3.14 atau 22/7??

Read the rest of this entry

Cara Matematikawan Mengungkapkan Cinta

Seorang matematikawan mempunyai rumus tersendiri untuk menyatakan cintanya. Jika orang awam yang lain cuma bisa bilang “gw suka u”, itu sudah basi dan tentunya tidak menarik, bukan? Oit, siapa tuh di seberang sana yang bilang ngak?? Hmm.. Penasaran bagaimana cara matematikawan mengungkapkan cinta? Lihat tiga formula di bawah..


_ __

Pikirkan sejenak…. adakah rumus tersebut bisa direbus?? huahaha

Read the rest of this entry

Tips Searching Google

Banyak di antara kita sangat bergantung pada search engine seperti google. Namun, kadang-kadang, hasil pencarian tidak sesuai dengan yang kita inginkan.. Berikut adalah tips-tips bagaimana sebaiknya kita melakukan penulisan dalam google untuk pencarian yang spesifik.

  • Gunakan tanda (+) atau AND untuk kata yang HARUS ada di hasil yang diinginkan. Misalnya, ‘+blog+musik+animasi+film’..Jika seperti itu, maka hasil pencarian yang ditampilkan pasti mengandung keempat kata-tersebut.. Pencarian situs yang tidak mengandung salah satu kata saja (misalnya kata ‘animasi’ tidak ada), maka tidak akan ditampilkan. Untuk hasil yang serupa, kita dapat menggantinya dengan ‘AND’, seperti: blog AND musik AND animasi AND film.
  • Kebalikan dengan yang nomor 1.. Gunakan tanda (-) untuk kata yang TIDAK diinginkan. Misalnya ‘voodoo power -notpron’. Maka, pencarian yang mengandung kata notpron tidak akan ditampilkan.. Hasil serupa, tanda(-) dapat diganti dengan NOT.
  • Gunakan tanda (“”) jika menginginkan hasil yang sama persis dengan kata atau kalimat yang diinginkan. Misalnya: ‘ “tripel phytagoras dapat diperoleh dari formula berikut” ‘.. Efektif jika kalimat itu unik seperti istilah, peribahasa, kalimat yang copy paste, etc..
  • Gunakan define:[kata yang diinginkan] untuk mencari definisi suatu istilah. Misalnya: ‘define: phytagoras’, maka search engine akan mencari halaman web yang memuat definisi dari kata tersebut. Sedangkan jika menggunakan ‘define [kata yang diinginkan]’, maka akan ditampilkan daftar definisi yang berbeda dari berbagai sumber. Misalnya: ‘Define Housing’
  • Gunakan title:[kata yang diinginkan] atau dengan intitle:[kata yang diinginkan]. Dua sintaks di atas memungkinkan kita mencari halaman web berdasarkan judulnya. Misalnya, kita mengetik ‘ title:fashion ’ atau ‘ intitle:fashion ’, maka mesin pencari akan menampilkan halaman-halaman web yang judulnya mengandung kata ‘fashion’.
  • Gunakan sintaks ‘filetype:’ untuk mencari informasi berdasarkan tipe file. Misalnya, kamu ingin mencari informasi mengenai ‘tips menghasilkan uang lewat internet’ dan kamu ingin hasil pencarian kita bukan di halaman web, tapi dokumen berformat .doc, maka kamu bisa memasukkan ‘ +tips menghasilkan +uang melalui +internet filetype:doc ‘.
  • Sertakan tanda’~’ di depan kata jika kita ingin juga menyertakan pencarian yang bersinonim dengan kata yang kita ketik. Misalnya: ‘~fast food’.
  • Ketik ‘related: [web site]’ untuk mencari halaman web yang isinya mirip dengan web yang kita tulis. Misalnya: ‘related: http://www.gendou.com’…
  • Kamu juga dapat menggunakan gabungan dari tips-tips di atas sesuai dengan kebutuhan untuk mendapatkan hasil yang spesifik dan memuaskan, seperti mengetik ‘ +”Sandra Bullock” +movie –“lake house” ‘, search engine akan mengartikan bahwa kamu mencari “film Sandra Bullock selain lake house”.

    Membuat PC Berbicara

    Buka notepad dan ketik kata-kata di bawah ini:


    Dim ProSpeak
    Set ProSpeak = WScript.CreateObject( "SAPI.SpVoice" )
    ProSpeak.Speak "Hallo"

    Lalu save dalam format *.vbs

    ganti kata hallo dengan apa aja. keren.

    Berpikir Matematis : Berpikir Aksiomatis

    Berpikir matematis merupakan kegiatan mental yang dalam prosesnya selalu menggunakan abstraksi atau generalisasi. Dalam proses aktivitas ini, salah satu hal penting yang diusung oleh para ilmuwan di era Euclids adalah berpikir aksiomatis.

    Berpikir aksiomatis adalah suatu pernyataan yang dibuat mesti berlandaskan pada pernyataan sebelumnya, pernyataan sebelumnya harus berlandaskan pernyataan sebelumnya lagi dan seterusnya, sehingga sampai pada pernyataan yang paling awal diajukan. Pernyataan yang paling awal diajukan deianggap benar dan jelas dengan sendirinya. Penyataan awal tersebut disebut aksioma atau postulat. Dengan aksioma kita tidak perlu lagi membuktikan kebenarannya, dan kebenaran tersebut kita terima begitu saja karena sudah jelas dengan sendirinya.

    Pada hakikatnya, landasan berpikir matematis itu merupakan kesepakatan-kesepakatan yang disebut dengan aksioma. Dengan aksioma-aksioma inilah matematika berkembang menjadi banyak cabang matematika. Karena landasanya adalah aksioma, maka matematika merupakan sistem aaksiomatik. Dalam sistem yang aksiomatik inilah kumpulan-kumpulan aksioma-aksioma itu memiliki sifat taat asas (consistent), dengan hubungan antar aksioma adalah saling bebas (adjoint).

    Agar berpikir aksiomatis ini sah dan benar, maka ada beberapa faktor yang perlu diperhatikan, yaitu:

    • harus ada konssistensi antara pernyataan yang satu dengan pernyataan yang lain. Tidak boleh ada pernyataan yang kontradiktif. Dalam hal ini berlaku dalil : jika P=Q, dan Q=R maka P=Q.
    • setiap pernyataan yang disusun harus dapat menghasilkan  satu atau lebih pernyataan yang lain. Misalnya pernyataan : Setiap orang perlu makan. Apakah dari pernyataan ini ada pernyataan lain yang dapat diturunkan? Orang perlu makan untuk bertahan hidup,  orang perlu bertahan hidup untuk beribadah, dan seterusnya.
    • setiap aksioma yang ditetapkan harus bebas dari aksioma yang lain. Selama masih terkait dengan pernyataan yang lain, maka pernyataan itu belum disebut aksioma. Euclids menyajikan sejumlah aksioma, diantaranya:
      • Jika A=B maka berlaku B=A
      • Jika A=B dan C=D maka berlaku A+C=B+D
      • Jika A=B dan C=D maka berlaku A-C=B-D
      • Keseluruhan lebih besar dari sebagian
      • Hanya dapat dibuat sebuah garis dari sebuah titik ke sebuah titik yang lain.
      • Semua sudut siku-siku selalu sama dengan sudut siku-siku yang lain.

    Dari suatu aksioma dapat diturunkan suatu dalil.  Misalnya dari aksioma 5 dapat diturunkan pernyataan berikut: melalui  sebuah titik P yang berada di luar garis g, hanya dapat dibuat satu garis lain l yang tegak lurus dengan garis g. Karena ini merupakan hasil turunan dari pernyataan yang lain, maka pernyataan ini bukan aksioma, bukan postulat. Karena itu, kebenarannya harus dibuktikan.

    Cara berpikir aksiomatis ini merupakan salah satu tonggak utama perkembangan matematika era Yunani. Dua tonggak yang lain adalah berkaitan dengan ketakberhinggan, limit, dan proses penjumlahan. Masalah tak berhingga dan limit pada zaman itu belum dapat dijawab sampai dengan ditemukan cabang matematika yang lain yang disebut kalkulus. Tonggak lain berkaitan dengan geometri tingkaat lanjut, yaitu membicarakan selain garis lurus dan lingkaran.

    Aksioma-aksioma yang digunakan untuk menyusun sistem matematika itu menentukan bentuk sistem matematika itu sendiri. Apabila aksiomanya diubah, sistemnya pun ikut berubah, sehingga teorema-teorema yang diperoleh dari aksioma-aksioma yang mempergunakan penalaran itu akan berubah pula.

    Dalam semua penalaran deduktif, kesimpulan yang ditarik merupakan akibat logis dari alasan-alasan yang bersifat umum menjadi hal yang bersifat khusus. Dengan alasan-alasan yang bersifat umum yang mendasarinya, maka kesimpulan tidak perlu lagi diragukan lagi. Penerapan cara berpikir deduktif ini akan menghasilkan teorema-teorema. Dan teorema-teorema inilah yang selanjutnya digunakan untuk menyelesaikan masalah-masalah, baik dalam matematika sendiri maupun ilmu lain.

    Perumusan yang diperoleh dari penalaran induktif bukan termasuk kategori berpikir matematika. Menalar secara induktif (bedakan dengan pembuktian metode induksi matematik) memerlukan pengamatan, yang akan digunakan sebagai dasar argumentasi, sebab penarikan kesimpulannya berasal dari alasan-alasan yang bersifat khusus menjadi bersifat umum. Meskipun pengamatan itu terbatas dan tidak cermat. Dengan demikian, hasil pengamatan tidak akan memperoleh hasil akhir atau kesimpulan yang sahih.

    Berpikir deduktif digunakan untuk menentukan agar kerangka pemikiran itu koheren dan logis. Matematika yang logis itu dapat menemukan pengaturan baru dari pengetahuan sebelumnya yang sudah diketahui. Walaupun matematika itu menggunakan penalaran deduktif, dalam proses kreatifnya kadang-kadang juga menggunakan intuisi, imajinasi, penalaran induktif, atau bahkan coba-coba (trial and error). Tetapi, pada akhirnya penemuan dari proses kreatif harus diorganisasikan dengan pembuktian secara deduktif.

    Sebagai landasan matematika, aksioma dapat diperoleh dari dunia nyata atau alam sekitar, sebagai sumber inspirasi yang selanjutnya diabstraksikan dan digeneralisasikan dengan menggunakan simbol-sombol. Dengan menggunakan bahasa matematika yang penalarannya deduktif, diperoleh teorema, yang kemudian dikembangkan menjadi teorema-teorema yang pada akhirnya dapat diaplikasikan terhadap ilmu-ilmu lain, yang bermanfaat untuk kehidupan di dunia ini.

    Strategi Pemecahan Masalah Matematika

    Berhadapan dengan sesuatu yang tidak rutin dan kemudian mencoba menyelesaikannya merupakan ciri khas makhluk hidup yang berakal. Pemecahan masalah (problem solving) merupakan latihan bagi siswa untuk berhadapan dengan sesuatu yang tidak rutin dan kemudian mencoba menyelesaikan. Ini adalah salah satu kompetensi yang harus ditumbuhkan pada diri siswa. Kompetensi seperti ini ditumbuhkan melalui bentuk pemecahan masalah.

    Pembelajaran pemecahan masalah tidak sama dengan pembelajaran soal-soal yang telah diselesaikan (solved problems). Pada pemecahan masalah kita memberikan bekal kepada siswa berbagai teknik penyelesaian untuk menyelesaikan masalah. Strategi ataupun taktik untuk menyelesaikan masalah dengan cara ini disebut heuristics, karena pada dasarnya pembelajar harus dapat menemukan sendiri.

    Terdapat berbagai strategi dalam pemecahan masalah, dari yang sederhana samapai strategi yang cukup kompleks. Diantaranya menerka dan menguji kembali, membuat daftar yang teratur, mengasumsikan jika sebagian dari masalah telah terselesaikan, menghapuskan beberapa kemungkinan, menyelesaikan masalah yang setara, menggunakan simetri, memperhatikan hal khusus, menggunakan alasan langsung, menyelesaikan sutau persamaan, melihat pola yang muncul, mengskets suatu gambar, memikirkan masalah sejenis yang telah diselesaikan, menyelesaikan masalah yang lebih sederhana, menyelesaikan masalah yang mirip, bekerja mundur dan menggunakan formula atau rumus.

    Menurut Polya ada 4 langkah yang perlu dilakukan dalam menyelesaikan masalah matematika, yaitu:

    1. Memahami masalah yang ada
      1. Apakah kita mengetahui arti semua kata yang digunakan? Jika tidak carilah di indeks, kamus, definisi, dan lainnya
      2. Apakah kita mengetahui yang dicari atau ditanya?
      3. Apakah kita mampu menyajikan masalah dengan menggunakan kata-kata sendiri?
      4. Apakah masalah dapat disajikan dengan cara lain?
      5. Apakah kita dapat menggambar sesuatu yang dapat digunakan sebagai bantuan?
      6. Apakah informasi cukup untuk menyelesaikan masalah?
      7. Apakah informasi berlebihan?
      8. Apakah ada yang perlu dicari sebelum mencari jawaban dari masalah?
    2. Menyusun suatu strategi
      1. Jangan ragu-ragu untuk mencoba salah satu dari strategi untuk digunakan dalam menyelesaikan masalah yang kita hadapi.
      2. Pada umumnya, strategi yang berhasil ditemukan setelah beberapa kali mencoba strategi yang gagal. Kegagalan adalah satu langkah kecil untuk mencapai tujuan dalam pemecahan masalah.
    3. Melakukan strategi yang terpilih
      langkah ini lebih mudah dibandingkan menyusun strategi. Disini hanya diperlukan kesabaran dan kehati-hatian untuk menjalankan strategi.
    4. Melihat kembali pekerjaan yang telah dilakukan
      Selanjutnya, jika perlu menyusun strategi baru yang lebih baik atau menuliskan jawaban dengan lebih baik berada di langka ini.

    Di Amerika Serikat, penyelidikan tentang Pemecahan Masalah telah dilakukan beberapa puluh tahun yang lalu. Diantaranya penyelidikan dilakukan oleh Dodson (1971), Hollander (1974). Menurut mereka kemampuan pemecahan masalah yang harus ditumbuhkan adalah:

    1. Kemampuan mengerti konsep dan istilah matematika;
    2. Kemampuan mencatat kesamaan, perbedaan, dan analogi;
    3. Kemampuan untuk mengidentifikasi elemen terpenting dan memilih prosedur yang benar;
    4. Kemampuan untuk mengetahui hal yang tidak berkaitan;
    5. Kemampuan untuk menaksir dan menganalisa;
    6. kemampuan untuk memvisualisasi dan mengimplementasi kuantitas atau ruang;
    7. Kemampuan untuk memperumum (generalisasi) berdasarkan beberapa contoh;
    8. Kemampuan untuk menganti metode yang telah diketahui;
    9. Mempunyai kepercayaan diri yang cukup dan merasa senang terhadap materinya

    Teorema Euler

    Fermat’s Little Theorem (FLT) akan sangat bermanfaat jika bilangannya adalah bilangan prima. Masalahnya, bagaimana kalau bilangannya komposit?

    Leonhard Euler berhasil membuktikan FLT pada tahun 1736. Kemudian, 24 tahun kemudian, FLT digeneralisasi oleh Generalisasi inilah yang disebut sebagai Teorema Euler.

    Teorema Euler

    Untuk m adalah integer positif dan a adalah integer dimana \gcd(a,m)=1 , maka
    a^{\phi(m)} \equiv 1 \mod m

    Jika, m adalah bilangan prima, maka rumus di atas akan identik dengan FLT


    CONTOH

    Berapakah sisa pembagian jika 3^{100000} dibagi 35

    Solusi:

    Berdasarkan teorema euler

    3^{24} \equiv 1 (\mod 35)

    Maka pangkatnya kita kelompokan berdasarkan 24

    3^{24 \cdot 4166+16} \equiv 3^{16} (\mod 35)

    Dengan begitu dapat dengan mudah diselesaikan. Hingga akhirnya didapat

    3^{100000} \equiv 11 (\mod 35)

    jadi, sisanya adalah 11

    sekian.


    Euler Phi Function

    Euler Phi-Function digunakan dalam teorema Euler. Meskipun namanya menggunakan kata phi namun fungsi ini sama sekali tidak menggunakan nila \phi=1,618.... . Penggunaan phi semata-mata untuk “fungsi”

    Euler phi function \phi (n) adalah fungsi yang menghitung banyaknya bilangan bulat \le x yang koprima dengan x

    contoh

    \phi(10)=4

    Karena dari sepuluh bilangan kurang dari atau sama dengan 10: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

    terdapat 4 bilangan yang koprima dengan 10 yaitu 1,3,7,9

     Pelajari Lebih Lanjut

    Berikut adalah teorema-teorema yang perlu diperhatikan dalam Euler Phi-Function:
    Teorema Pertama

    Untuk n bilangan prima, selalu berlaku \phi(n)=n-1

    Contoh: \phi(23)=22

    ******

    Teorema Kedua

    Untuk n bilangan prima dan a bilangan bulat positif, selalu berlaku

    \phi(n^a)=n^a-n^{a-1}

    atau ekuivalen dengan \phi(n^a)=n^a(1-\frac{1}{n})

    contoh

    \phi(7^3)=343-49=281

    *******

    Teorema Ketiga

    Phi function adalah fungsi multiplikatif.

    Untuk m dan n saling relatif prima (koprima), maka

    \phi(m \cdot n)= \phi(m) \cdot \phi(n)

    contoh

    \phi(100)=\phi(5^2\cdot4)=\phi(5^2)\cdot\phi(4)=(5^2-5)(2)=40

    ******

    Kalau repot dengan seluruh rumus diatas, pakai saja konsep di bawah

    n={p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}...{p_k}^{a_k} merupakan faktorisasi prima dari bilangan bulat n, maka

    \phi(n)=n(1- \frac{1}{p_1})(1- \frac{1}{p_2})...(1- \frac{1}{p_k})


    contoh

    \phi(100)= \phi(2^2 \cdot5^2)=100\cdot(1- \frac{1}{2})(1- \frac{1}{5})=40

    *******

    Ingat bahwa \phi(n) selalu bernilai genap untuk n>2

    sekian dulu…