Monthly Archives: Desember 2009

Funny Exam

Terkadang mengerjakan soal-soal matematika membuat kita frustasi. Tampang-tampang frustasi tersebut dapat anda bayangkan dari gambar-gambar berikut:

Iklan

Sajak Pi

Sir, I bear a rhyme excelling
In mystic force and magic spelling
Celestial sprites elucidate
All my own striving can’t relate

sanji 11

KIta semua telah tahu bahwa nilai pi yang akurat bukanlah 22/7  nilai pi yang sesungguhnya adalah  3,14159 26535 89793 23846…. Secara angka-angka tersebut sulit dihafalkan maka muncullah berbagai sajak yang merepresentasikan nilai pi seperti di atas.

Read the rest of this entry

Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks meliputi dua bagian besar yaitu real dan imajiner. Kurang lebih bisa digambarkan sebagai berikut.


Lingkaran yang paling besar itu menunjukkan himpunan bilangan kompleks, memperlihatkan betapa luasnya himpunan bilangan kompleks

OSN 2009 Soal 4

Di suatu pulau terdapat 7 kota dan ada jaringan kereta api yang melalui kota-kota tersebut. Setiap segmen rel menghubungkan tepat 2 kota, dan diketahui bahwa setiap kota memiliki paling sedikit 3 segmen ke kota lain. Buktikan bahwa terdapat rute perjalanan kereta api yang mengunjungi 4 kota yang berbeda masing-masing sekali dan kembali ke kota asalnya. (Contoh: rute ).

Read the rest of this entry

Kekuatan Penuh Faktorisasi

Tentukan nilai terkecil yang mungkin dari fungsi

f(x) = x^{2008} -2x^{2007} +3x^{2006} -4x^{2005} +5x^{2004} +... -2006x^3 +2007x^2 -2008x +2009

untuk sebarang bilangan real x .

Lihat Solusi

Tidak Ada Yang Habis Dibagi

OSN 2009 Soal 1. Tentukan banyaknya bilangan n\in {1,2,3,...,2009}  sedemikian sehingga

4n^6+n^3+5

habis dibagi 7.

Lihat Solusi

Teorema Binomial

Teorema binomial sebagai berikut (dua rumus di bawah identik):

(a+b)^n= \sum \limits_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot a^{n-k} \cdot b^k

contoh penerapan sebagai berikut:

Read the rest of this entry

Teorema Ceva dan Menelaus

Diberikan sebuah segitiga ABC dengan titik D, E, dan F masing-masing terletak pada garis BC, CA, dan AB. (lihat gambar)

Teorema Ceva menyatakan bahwa

Read the rest of this entry

Bilangan Lubang Hitam : 123

Dalam astronomi dan fisika, kita mengenal adanya suatu fenomena alam yang sangat menarik yaitu lubang hitam (black hole). Lubang hitam adalah suatu entitas yang memiliki medan gravitasi yang sangat kuat sehingga setiap benda yang telah jatuh di wilayah horizon peristiwa (daerah di sekitar inti lubang hitam), tidak akan bisa kabur lagi. Bahkan radiasi elektromagnetik seperti cahaya pun tidak dapat melarikan diri, akibatnya lubang hitam menjadi “tidak kelihatan”.

Ternyata, dalam matematika juga ada fenomena unik yang mirip dengan fenomena lubang hitam yaitu bilangan lubang hitam. Bagaimana sebenarnya bilangan lubang hitam itu? Mari kita bermain-main sebentar dengan angka.

Read the rest of this entry

Misteri Bilangan Nol

Ratusan tahun yang lalu, manusia hanya mengenal 9 lambang bilangan yakni 1, 2, 2, 3, 5, 6, 7, 8, dan 9. Kemudian, datang angka 0, sehingga jumlah lambang bilangan menjadi 10 buah. Tidak diketahui siapa pencipta bilangan 0, bukti sejarah hanya memperlihatkan bahwa bilangan 0 ditemukan pertama kali dalam zaman Mesir kuno. Waktu itu bilangan nol hanya sebagai lambang. Dalam zaman modern, angka nol digunakan tidak saja sebagai lambang, tetapi juga sebagai bilangan yang turut serta dalam operasi matematika. Kini, penggunaan bilangan nol telah menyusup jauh ke dalam sendi kehidupan manusia. Sistem berhitung tidak mungkin lagi mengabaikan kehadiran bilangan nol, sekalipun bilangan nol itu membuat kekacauan logika. Mari kita lihat.

Read the rest of this entry

Jam Biologis Tubuh Manusia

Pernahkah Anda bertanya, 

  • mengapa saat malam kita mengantuk?

Atau

  • mengapa bila masyarakat pedesaan yang belum ada listrik cenderung tidur lebih cepat?

Read the rest of this entry

Cara Matematikawan Mengungkapkan Cinta

Seorang matematikawan mempunyai rumus tersendiri untuk menyatakan cintanya. Jika orang awam yang lain cuma bisa bilang “gw suka u”, itu sudah basi dan tentunya tidak menarik, bukan? Oit, siapa tuh di seberang sana yang bilang ngak?? Hmm.. Penasaran bagaimana cara matematikawan mengungkapkan cinta? Lihat tiga formula di bawah..


_ __

Pikirkan sejenak…. adakah rumus tersebut bisa direbus?? huahaha

Read the rest of this entry

Membuat PC Berbicara

Buka notepad dan ketik kata-kata di bawah ini:


Dim ProSpeak
Set ProSpeak = WScript.CreateObject( "SAPI.SpVoice" )
ProSpeak.Speak "Hallo"

Lalu save dalam format *.vbs

ganti kata hallo dengan apa aja. keren.

Strategi Pemecahan Masalah Matematika

Berhadapan dengan sesuatu yang tidak rutin dan kemudian mencoba menyelesaikannya merupakan ciri khas makhluk hidup yang berakal. Pemecahan masalah (problem solving) merupakan latihan bagi siswa untuk berhadapan dengan sesuatu yang tidak rutin dan kemudian mencoba menyelesaikan. Ini adalah salah satu kompetensi yang harus ditumbuhkan pada diri siswa. Kompetensi seperti ini ditumbuhkan melalui bentuk pemecahan masalah.

Pembelajaran pemecahan masalah tidak sama dengan pembelajaran soal-soal yang telah diselesaikan (solved problems). Pada pemecahan masalah kita memberikan bekal kepada siswa berbagai teknik penyelesaian untuk menyelesaikan masalah. Strategi ataupun taktik untuk menyelesaikan masalah dengan cara ini disebut heuristics, karena pada dasarnya pembelajar harus dapat menemukan sendiri.

Terdapat berbagai strategi dalam pemecahan masalah, dari yang sederhana samapai strategi yang cukup kompleks. Diantaranya menerka dan menguji kembali, membuat daftar yang teratur, mengasumsikan jika sebagian dari masalah telah terselesaikan, menghapuskan beberapa kemungkinan, menyelesaikan masalah yang setara, menggunakan simetri, memperhatikan hal khusus, menggunakan alasan langsung, menyelesaikan sutau persamaan, melihat pola yang muncul, mengskets suatu gambar, memikirkan masalah sejenis yang telah diselesaikan, menyelesaikan masalah yang lebih sederhana, menyelesaikan masalah yang mirip, bekerja mundur dan menggunakan formula atau rumus.

Menurut Polya ada 4 langkah yang perlu dilakukan dalam menyelesaikan masalah matematika, yaitu:

  1. Memahami masalah yang ada
    1. Apakah kita mengetahui arti semua kata yang digunakan? Jika tidak carilah di indeks, kamus, definisi, dan lainnya
    2. Apakah kita mengetahui yang dicari atau ditanya?
    3. Apakah kita mampu menyajikan masalah dengan menggunakan kata-kata sendiri?
    4. Apakah masalah dapat disajikan dengan cara lain?
    5. Apakah kita dapat menggambar sesuatu yang dapat digunakan sebagai bantuan?
    6. Apakah informasi cukup untuk menyelesaikan masalah?
    7. Apakah informasi berlebihan?
    8. Apakah ada yang perlu dicari sebelum mencari jawaban dari masalah?
  2. Menyusun suatu strategi
    1. Jangan ragu-ragu untuk mencoba salah satu dari strategi untuk digunakan dalam menyelesaikan masalah yang kita hadapi.
    2. Pada umumnya, strategi yang berhasil ditemukan setelah beberapa kali mencoba strategi yang gagal. Kegagalan adalah satu langkah kecil untuk mencapai tujuan dalam pemecahan masalah.
  3. Melakukan strategi yang terpilih
    langkah ini lebih mudah dibandingkan menyusun strategi. Disini hanya diperlukan kesabaran dan kehati-hatian untuk menjalankan strategi.
  4. Melihat kembali pekerjaan yang telah dilakukan
    Selanjutnya, jika perlu menyusun strategi baru yang lebih baik atau menuliskan jawaban dengan lebih baik berada di langka ini.

Di Amerika Serikat, penyelidikan tentang Pemecahan Masalah telah dilakukan beberapa puluh tahun yang lalu. Diantaranya penyelidikan dilakukan oleh Dodson (1971), Hollander (1974). Menurut mereka kemampuan pemecahan masalah yang harus ditumbuhkan adalah:

  1. Kemampuan mengerti konsep dan istilah matematika;
  2. Kemampuan mencatat kesamaan, perbedaan, dan analogi;
  3. Kemampuan untuk mengidentifikasi elemen terpenting dan memilih prosedur yang benar;
  4. Kemampuan untuk mengetahui hal yang tidak berkaitan;
  5. Kemampuan untuk menaksir dan menganalisa;
  6. kemampuan untuk memvisualisasi dan mengimplementasi kuantitas atau ruang;
  7. Kemampuan untuk memperumum (generalisasi) berdasarkan beberapa contoh;
  8. Kemampuan untuk menganti metode yang telah diketahui;
  9. Mempunyai kepercayaan diri yang cukup dan merasa senang terhadap materinya

Teorema Euler

Fermat’s Little Theorem (FLT) akan sangat bermanfaat jika bilangannya adalah bilangan prima. Masalahnya, bagaimana kalau bilangannya komposit?

Leonhard Euler berhasil membuktikan FLT pada tahun 1736. Kemudian, 24 tahun kemudian, FLT digeneralisasi oleh Generalisasi inilah yang disebut sebagai Teorema Euler.

Teorema Euler

Untuk m adalah integer positif dan a adalah integer dimana \gcd(a,m)=1 , maka
a^{\phi(m)} \equiv 1 \mod m

Jika, m adalah bilangan prima, maka rumus di atas akan identik dengan FLT


CONTOH

Berapakah sisa pembagian jika 3^{100000} dibagi 35

Solusi:

Berdasarkan teorema euler

3^{24} \equiv 1 (\mod 35)

Maka pangkatnya kita kelompokan berdasarkan 24

3^{24 \cdot 4166+16} \equiv 3^{16} (\mod 35)

Dengan begitu dapat dengan mudah diselesaikan. Hingga akhirnya didapat

3^{100000} \equiv 11 (\mod 35)

jadi, sisanya adalah 11

sekian.


Euler Phi Function

Euler Phi-Function digunakan dalam teorema Euler. Meskipun namanya menggunakan kata phi namun fungsi ini sama sekali tidak menggunakan nila \phi=1,618.... . Penggunaan phi semata-mata untuk “fungsi”

Euler phi function \phi (n) adalah fungsi yang menghitung banyaknya bilangan bulat \le x yang koprima dengan x

contoh

\phi(10)=4

Karena dari sepuluh bilangan kurang dari atau sama dengan 10: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10

terdapat 4 bilangan yang koprima dengan 10 yaitu 1,3,7,9

 Pelajari Lebih Lanjut

Berikut adalah teorema-teorema yang perlu diperhatikan dalam Euler Phi-Function:
Teorema Pertama

Untuk n bilangan prima, selalu berlaku \phi(n)=n-1

Contoh: \phi(23)=22

******

Teorema Kedua

Untuk n bilangan prima dan a bilangan bulat positif, selalu berlaku

\phi(n^a)=n^a-n^{a-1}

atau ekuivalen dengan \phi(n^a)=n^a(1-\frac{1}{n})

contoh

\phi(7^3)=343-49=281

*******

Teorema Ketiga

Phi function adalah fungsi multiplikatif.

Untuk m dan n saling relatif prima (koprima), maka

\phi(m \cdot n)= \phi(m) \cdot \phi(n)

contoh

\phi(100)=\phi(5^2\cdot4)=\phi(5^2)\cdot\phi(4)=(5^2-5)(2)=40

******

Kalau repot dengan seluruh rumus diatas, pakai saja konsep di bawah

n={p_1}^{a_1}{p_2}^{a_2}...{p_k}^{a_k} merupakan faktorisasi prima dari bilangan bulat n, maka

\phi(n)=n(1- \frac{1}{p_1})(1- \frac{1}{p_2})...(1- \frac{1}{p_k})


contoh

\phi(100)= \phi(2^2 \cdot5^2)=100\cdot(1- \frac{1}{2})(1- \frac{1}{5})=40

*******

Ingat bahwa \phi(n) selalu bernilai genap untuk n>2

sekian dulu…

Fermat’s Little Theorem

—————————————————————————————————————————-

Fermat’s Little Theorem
Jika  adalah bilangan prima dan  adalah integer positif dimana  ,maka 

—————————————————————————————————————————–

Fermat’s Little Theorem (bentuk lain)

Jika  adalah bilangan prima dan  adalah integer positif, maka

Note: perhatikan bahwa  bukanlah syarat wajib.

——————————————————————————————————————————–

contoh:

Tentukan sisa pembagian jika  dibagi 73.

Jawab:
73 adalah bilangan prima, maka dari Fermat’s Little Theorem kita tahu bahwa .
Maka, kita kelompokkan berdasarkan 72.
.
Selanjutnya, kita gunakan cara biasa.
       

___________       

___________              

___________   

___________

___________              

___________ .

Jadi, sisa pembagiannya adalah 32.

It’s so simple.

Chinese Remainder Theorem

Diberikan sistem kongruensi sebagai berikut.




haruslah saling relatif prima
Dengan demikian, kita dapat mencari nilai  dengan rumus berikut.

dimana

untuk setiap .
dan  adalah invers dari  modulo  untuk setiap .

———————————————————————————————————-

contoh:

Suatu bilangan bulat positif akan bersisa 1 jika dibagi 3, bersisa 2 jika dibagi 5, dan bersisa 3 jika dibagi 7. Tentukan bilangan bulat terkecil yang memenuhi kondisi tersebut.

Karena 3,5, dan 7 relatif prima, maka rumus CRT (Chinese Remainder Theorem) dapat langsung digunakan.
Kita dapatkan , dan . Untuk menentukan , kita selesaikan , menjadi , maka . Untuk menentukan , kita selesaikan , maka . Untuk menentukan , kita selesaikan , maka 
Tinggal memasukkan semua elemen yang ada ke dalam rumus

Jadi, bilangan yang dimaksud adalah 52.
sederhana bukan?

Inequality

Berikut beberapa ketaksamaan yang akan sangat berguna untuk kita semua:

AM-GM-HM

AM (Aritmatik Mean) yaitu rataan aritmatik.

Bentuk: \frac{a_1+a_2+...+a_n}{n}

GM (Geometric Mean) yaitu rataan geometri.

Bentuk: \sqrt[n]{a_1 \times a_2 \times... \times a_n}

HM (Harmonik Mean) yaitu rataan harmonik.

Bentuk: \frac{n}{\frac{1}{a_1}+ \frac{1}{a_2}+...+ \frac{1}{a_n}}

Untuk semua a_i bilangan real positif selalu berlaku

AM \ge GM \ge HM

Contoh:

\frac{1+2+3+4}{4} \ge \sqrt[4]{1 \times 2 \times 3 \times 4} \ge \frac{4}{\frac{1}{1}+ \frac{1}{2}+ \frac{1}{3}+ \frac{1}{5}}

CAUCHY_SCHWARZ

\left ( \sum \limits_{k=1}^n a_kb_k \right )^2\le \left ( \sum \limits_{k=1}^n {a_k}^2 \right ) \left ( \sum \limits_{k=1}^n {b_k}^2 \right )

CAUCHY_SWARCHZ BENTUK ENGEL

\sum \frac{{a_k}^2}{b_k} \ge \frac{(\sum a_k)^2}{\sum b_k}

dimana b_1,b_2,...,b_n > 0

atau jika dijabarkan menjadi

\frac{{a_1}^2}{b_1}+\frac{{a_2}^2}{b_2}+...+\frac{{a_n}^2}{b_n} \ge \frac{(a_1+a_2+...+a_n)^2}{b_1+b_2+...+b_n}

KETAKSAMAAN HOLDER

Misalkan a_1,...,a_n;b_1,...,b_n adalah bilangan real tidak negatif dan p,q >1 . Maka

\left ( \sum \limits_{k=1}^n a_kb_k \right )\le \left ( \sum \limits_{k=1}^n {a_k}^p \right )^{\frac{1}{p}} \left ( \sum \limits_{k=1}^n {b_k}^q \right )^{\frac{1}{q}}

KETAKSAMAAN NESBITT

untuk real positif berlaku


Materi Pokok Matematika

1Aljabar berasal dari Bahasa Arab “al-jabr” yang berarti “pertemuan”, “hubungan” atau “perampungan”) adalah cabang matematika yang dapat dicirikan sebagai generalisasi dan perpanjangan aritmatika. Aljabar juga merupakan nama sebuah struktur aljabar abstrak, yaitu aljabar dalam sebuah bidang

2. Geometri (dari bahasa unani γεωμετρία; geo = bumi, metria = pengukuran) secara harafiah berarti pengukuran tentang bumi, adalah cabang dari matematika yang mempelajari hubungan di dalam ruang. Dari pengalaman, atau mungkin secara intuitif, orang dapat mengetahui ruang dari ciri dasarnya, yang diistilahkan sebagai aksioma dalam geometri.

3. Kombinatorika adalah cabang matematika mengenai objek khusus. Aspek-aspek kombinatorika meliputi menghitung objek yang memenuhi kriteria tertentu, menentukan apakah kriteria dipenuhi, menganalisis atau mencari objek yang memenuhi kriteria, menentukan objek “terbesar”, “terkecil”, atau yang “optimal”, dan menentukan struktur suatu objek.

4. Secara tradisional, teori bilangan adalah cabang dari matematika murni yang mempelajari sifat-sifat bilangan bulat dan mengandung berbagai masalah terbuka yang dapat mudah mengerti sekalipun bukan oleh ahli matematika.

Dalam teori bilangan dasar, bilangan bulat dipelajari tanpa menggunakan teknik dari area matematika lainnya. Pertanyaan tentang sifat dapat dibagi, algoritma Euklidean untuk menghitung faktor pesekutuan terbesar, faktorisasi bilangan bulat dalam bilangan prima, penelitian tentang bilangan sempurna dan kongruensi dipelajari di sini.

Pernyataan dasarnya adalah teorema kecil Fermat dan teorema Euler. Juga teorema sisa tiongkok dan hukum keresiprokalan kuadrat. Sifat dari fungsi multiplikatif seperti fungsi Mobius dan fungsi phi Euler juga dipelajari. Demikian pula barisan bilangan bulat seperti faktorial dan bilangan Fibonacci.