Bukti Teorema Ceva




Jika D,E,F berturut-turut merupakan titik-titik pada garis BC,CA,AB pada \Delta ABC , maka:

Garis BE,AD,FC berpotongan di satu titik jika dan hanya jika

\frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} =1

Untuk membuktikan teorema di atas maka akan kita bagi menjadi dua kasus:

1. Jika BE,AD,FC berpotongan di satu titik maka \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} =1

Sifat segitiga: Perbandingan luas segitiga yang tingginya sama, sama dengan perbandingan panjang alas-alasnya.

Berdasarkan sifat di atas didapatkan:

\frac{AF}{FB}= \frac{AFC}{BFC}=\frac{AFO}{BFO}=\frac{AFC-AFO}{BFC-BFO}= \frac{AOC}{BOC}

(ket: AFC maksudnya adalah luas \Delta AFC )

Dengan cara serupa didapatkan:

\frac{BD}{DC}=\frac{AOB}{AOC}

\frac{CE}{EA}=\frac{BOC}{AOB}

Jadi, diperoleh \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA}= \frac{AOC}{BOC} \cdot \frac{AOB}{AOC} \cdot \frac{BOC}{AOB} =1

Terbukti

2. Jika \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} =1 maka BE,AD,FC kongruen.

Untuk membuktikannya, sebenarnya cukup sederhana. Misalkan BE dan AD berpotongan di O dan perpanjangan CO memotong AB di G. Maka menurut torema ceva (no.1), didapatkan \frac{AG}{GB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} =1

Sebelumnya juga telah diketahui bahwa \frac{AF}{FB} \cdot \frac{BD}{DC} \cdot \frac{CE}{EA} =1 , maka jelas bahwa F dan G berimpit. Jelas terbukti bahwa ketiga garis tadi berpotongan di satu titik.

Contoh soal:

(contoh ini sama sekali tidak menggunakan teorema ceva itu sendiri. Namun konsep yang digunakan adalah konsep yang terdapat dalam pembuktian dari teorema ceva. Ingat bahwa, bukti dari suatu rumus lebih berari dari rumus itu sendiri)

D, E, dan F adalah titik-titik pada sisi BC, CA, AB dari segitiga ABC dan AD, BE, dan CF kongruen terhadap titik O. Buktikan bahwa \frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}=1

Solusi:

Penampakan soal tersebut kurang lebih seperti ini:

Berdasarkan sifat segitiga yang tercantum jauh di atas, didapat:

\frac{DO}{AD}= \frac{ODB}{ABD}= \frac{ODC}{ADC} = \frac{ODB+ODC}{ABD+ADC}= \frac{OBC}{ABC}

Dengan proses serupa didapatkan pula

\frac{OE}{BE} = \frac{OCA}{ABC} dan \frac{OF}{CF}= \frac{OAB}{ABC}

Dari ketiga persamaan tersebut, maka

bahwa \frac{OD}{AD}+\frac{OE}{BE}+\frac{OF}{CF}= \frac{OBC}{ABC}+ \frac{OCA}{ABC}+ \frac{OAB}{ABC}= 1

Untuk bukti yang lebih menarik klik link ini
atau bukti teorema ceva dengan menggunakan teorema menelaus di sini

About ardiantoarsadi

don't look for miracles it will come

Posted on Februari 1, 2010, in MATERI MATEMATIKA and tagged , , . Bookmark the permalink. 3 Komentar.

  1. Blog yang bagus, sumber inspirasi juga…teruslah menulis !!
    http://mobil88.wordpress.com

  2. boleh minta nama sumber buku mengenai teorema ceva ??
    slnya aku perlu bahan untuk membuat tugas seminar matematika

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: