Membedah Barisan Fibonacci


Kita semua tentu tahu dengan Barisan Fibonacci berikut:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...

Dengan U_n=U_{n-1}+U_{n-2}

Jelas untuk menghitung suku ke-11 seperti di atas, kita bisa menghitung sendiri. Tapi bagaimana jika yang dicari adalah suku ke 200? Memang bisa didapatkan, tapi butuh waktu LaaaamaaaaaA.

Saya sendiri cukup kaget melihat rumus berikut, kok bisa ya di hitung sampe seteliti itu?

1. Rumus Suku Ke-n

Berikut diberikan formula (rumus Binet) untuk menentukan suku ke-n dari barisan fibonacci

U_n=\frac{1}{\sqrt{5}} [\varphi^n-(1-\varphi)^n]

dimana \varphi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=2\cdot cos36^o= 1,61803398874...

Contoh. Berapakah suku ke 9 barisan Fibonacci?

U_9=\frac{1}{\sqrt{5}} [\varphi^9-(1-\varphi)^9]

U_9=\frac{1}{\sqrt{5}} [76,013155+0,013155]

U_9=34

Jadi, memang rumus tersebut akurat. Untuk angka yang besar hitung sendiri saja ya

2. Rumus Jumlah n-suku

S_n=U_{n+2}-1

Bukti:

Sebelumnya diketahui bahwa U_n=U_{n-1}+U_{n-2}, subtitusi n=k+2, didapat U_{k+2}=U_{k+1}+U_{k}.

Jadi, U_k=U_{k+2}-U_{k+1}.

S_n= \sum \limits_{k=1}^n U_k= \sum \limits_{k=1}^n (U_{k+2}-U_{k+1})=U_3-U_2+U_4-U_3+U_5-U_3+...+U_{k+2}-U_{k+1}

S_n= \sum \limits_{k=1}^n U_k=U_{k+2}-U_2= U_{k+2}-1 (terbukti)

About ardiantoarsadi

don't look for miracles it will come

Posted on Mei 24, 2010, in Tak Berkategori. Bookmark the permalink. 4 Komentar.

  1. tengkiyu….akhirnya ketemu ^_^
    muridku nanya rumus barisan fibonacci..

  2. gmn klo barisannya seprti ini: 1, 9, 10, 19, 29, 48, 77…

  3. mas tolong dong kasih tahu cara pembuktian rumus binet dengan pendekatan secara geometrik

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: