Sisa Dibagi 49


[AIME 1983] Misalkan a_n sama dengan 6^n+8^n, tentukanlah sisa a_{83} dibagi 49.

Solusi

Jadi, yang dicari adalah nilai dari 6^{83}+8^{83} modulo 49

Selanjutnya dengan teorema Euler, diketahui bahwa n^{42} \equiv \pmod{49} karena \phi{49}=49(1- \frac{1}{7})=42

Jadi, 6^{83}+8^{83} \equiv 6^{-1}+8^{-1} \pmod{49}

6^{-1}+8^{-1}= \frac{14}{48}=14 \cdot48^{-1}

sehingga, 6^{-1}+8^{-1} \pmod{49} \equiv 14 \cdot48^{-1} \pmod{49} \equiv -14 \pmod{49}

Jadi, a_{83} \equiv -14 \pmod{49} \equiv 35 \pmod{49}

About ardiantoarsadi

don't look for miracles it will come

Posted on Maret 18, 2010, in SOAL DAN SOLUSI and tagged , . Bookmark the permalink. Tinggalkan komentar.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: