Tidak Ada Yang Habis Dibagi


OSN 2009 Soal 1. Tentukan banyaknya bilangan n\in {1,2,3,...,2009}  sedemikian sehingga

4n^6+n^3+5

habis dibagi 7.

Solusi:

Pertama, periksa sisa semua bilangan kubik dan pangkat 6 jika dibagi 7

  1. Jika n \equiv 0 \mod 7 , maka n^3 \equiv 0 \mod 7
  2. Jika n \equiv 1 \mod 7 , maka n^3 \equiv 1 \mod 7
  3. Jika n \equiv 2 \mod 7 , maka n^3 \equiv 1 \mod 7
  4. Jika n \equiv 3 \mod 7 , maka n^3 \equiv -1 \mod 7
  5. Jika n \equiv 4 \mod 7 , maka n^3 \equiv 1 \mod 7
  6. Jika n \equiv 5 \mod 7 , maka n^3 \equiv -1 \mod 7
  7. Jika n \equiv 6 \mod 7 , maka n^3 \equiv -1 \mod 7

Sementara untuk setiap n^6 pasti bersisa 1 jika dibagi 7  atau n^6 \equiv 1 \mod 7 (jelas dengan Fermat’s Little Theorem)

Kini, soal tersebut dapat diselesaikan dengan membaginya ke dalam 3 kasus:

(a) Jika n \equiv 1,2,4 \mod 7 , maka:

4n^6+n^3+5 \equiv 4+1+5 \mod 7 \equiv 3 \mod 7

(b) Jika n \equiv 3,5,6 \mod 7 , maka:

4n^6+n^3+5 \equiv 4-1+5 \mod 7 \equiv 1 \mod 7

(c) Jika n \equiv 0 \mod 7 ,  maka:

4n^6+n^3+5 \equiv 0+0+5 \mod 7 \equiv 5 \mod 7

Untuk semua kasus, tidak ada n \in\mathbb{N} yang memenuhi 7\mid 4n^6+n^3+5 .

Sehingga jelas bahwa untuk n\in {1,2,3,...,2009} , banyaknya n yang memenuhi adalah 0

About ardiantoarsadi

don't look for miracles it will come

Posted on Desember 21, 2009, in SOAL DAN SOLUSI and tagged . Bookmark the permalink. Tinggalkan komentar.

Tinggalkan Balasan

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: